『きらきら☆スタディー』に登場する国際数学オリンピック (IMO) の問題について

この記事は東京大学きらら同好会 Advent Calendar 2023の21日目の記事です。記事と言うほどの内容ではなく、メモと言った方が近いような気がしますが...。

20日目の記事は、Asamaさんによる、「『文学少女』きらら作品をガチ構想する」です。14巻168話の構想とのことで、ガチ度合いが伝わってきます。

22日目の記事は、現きらら同好会会長のポリアネスさんの、合同誌micare 2.5への寄稿作です。

utkiraracircle.hatenablog.com

『きらきら☆スタディー～絶対合格宣言～』は、2015年から2018年にかけて『まんがタイムきらら』で連載された、華々つぼみによる漫画です。主人公の美崎みさき真零まれいが、その幼馴染の間城ましろ満みちると同じ大学に通うために、受験勉強をする部活「絶対ごうかくラブ」での活動を通して、「赤門大学」を目指す、というストーリーです。

『きらきら☆スタディー』の単行本第2巻には、次のようなエピソードが収録されています。

真零は苦手な数学の教えを乞うために、ごうかくラブの面々と、学校に存在するらしい「数学研究会」での「武者修行」に向かう。実は数研はすでに解散していたが、一同は、かつて数研が活動していた部室で勉強していた、数研OGの岩貞いわさだ一樹いつきと出会う。

さて、このエピソードには、一樹がかつての数研の活動を回想するシーンが登場します。

一見なんてことのないように見えますが、一部の人間は二度見してしまうこと間違いなしでしょう。3つ目のコマでは明らかに、LTE (Lifting the Exponent) の補題を利用しています。この補題は、IMOの日本代表を目指すレベルの数オリプレイヤーには良く知られていますが、逆に数オリ経験者以外にはなかなか知られていないだろうと思われます。

$p$ を $2$ でない素数とする。もし $x-y$ が $p$ の倍数であり、かつ $x, y$ がともに $p$ の倍数でなければ、

$v_p (x^n-y^n) = v_p (x-y) + v_p (n)$

が成り立つ。
ここで、整数 $k$ に対して、 $v_p(k)$ は「 $k$ が $p$ で最大何回割り切れるか」を表す。

実は、これらのコマに描かれているのは、IMO及びその候補問題 (SLP; shortlist problems) に登場した問題の解法の一部です。幾何不等式の問題に登場する点の名前がIMOでの出題から変更されている*1ことから、この黒板の描写は「高校数学の美しい物語」の記述を引用したものであることが推測できます。引用元は、IMO 1991 P1

三角形 $ABC$ の内心を $I$ ， $AI$ と $BC$ の交点を $P$ ， $BI$ と $CA$ の交点を $Q$ ， $CI$ と $AB$ の交点を $R$ とおくとき，

$\displaystyle \frac{1}{4} < \frac{AI \cdot BI \cdot CI}{AP \cdot BQ \cdot CR} \le \frac{8}{27}$

を証明せよ。

の解法を解説した記事と、LTEの補題について解説し、その練習問題としてIMO 1991 SLP P18

$N = 1990^{1991^{1992}} + 1992^{1991^{1990}}$ が $1991$ で最大何回割り切れるか求めよ。

とその解法を紹介している記事の2つです。

1つ目の記事には、引用元となっていることが非常に分かりやすい図が登場します。等しい角度を表す記号が一致しています。

「高校数学の美しい物語」最初期の記事だけあって、図に手作り感を感じますね。

問題の意味

作中にIMOの問題が登場する事実には、すでに気づかれていた方がいました*2。また、これらの問題の解法や、LTEの補題の証明については、私がせずとも様々な場所で解説されています*3。

独自性を出したいし、数学オリンピック経験者じゃないと書けなそうなことを書きたいので、「なぜ多数あるIMOの問題からこれらの問題が選ばれたのか？」について考えてみました (TL;DR 分かりませんでした)。

1991

まず目立つのはこれらの問題がともに1991年のIMOに関わる問題だということです。作者の華々つぼみ氏にとって思い入れがある年なのか？と思いましたが、どうやら華々つぼみ氏は1992年生まれの方のようなので*4、ライフイベントがあったとかではなさそうです。偶然でしょうか。

教育的効果

もう1つこれらの問題の共通点として、「数オリ頻出のテクニックの例題としてよく使われる」ことが挙げられると思います。両方とも、解くために頻出のテクニック (LTEの補題とRavi変換) の利用が必要ですが、利用してしまえば問題が簡単になる (が、あまりに自明にはならない) 問題ですから、正しくテクニックを使えるかの確認に便利です。ですから、数研の活動でこれらの問題を扱うことは、非常に理に適っていると言えるでしょう。

ただ、作者がここまで考えてこれらの問題を選んだのかと言われると微妙なところです。そもそも、「高校数学の美しい物語」は教育を目的としたウェブサイトであるため、前述の特徴を持った問題が掲載されるのは当然ともいえます。

わからん

他にも「『高校数学の美しい物語』での公開日時が連続していたのか？」(公開はそれぞれ2014年4月と12月で全然連続していない) とか「漫画の原稿を書いていた時にトップページにあったのか？」(連載は2016年9月号なのでそうとは考えづらい) とか考えてみたけど納得いく説明は見つからず。前回のチェス記事に続いてまたオチのない記事になってしまった！！:onakagadetenai:

*1:元々のIMOの問題では、三角形の角二等分線と辺の交点は $A^\prime, B^\prime, C^\prime$ という名前になっている

*2:数学オリンピックレベル：いわめも：SSブログ

*3:例: 「LTEの補題 - 数学徘徊記」

*4:http://atelier10colors.blog.fc2.com/blog-entry-26.html